Объем конуса

Конус — это трёхмерное геометрическое тело, которое образуется, если соединить все точки некоторой плоской фигуры (обычно круга), называемой основанием, с одной точкой, не лежащей в плоскости основания. Эта точка называется вершиной конуса. Отрезок от вершины до любой точки границы основания называется образующей.

Объём конуса — это величина, показывающая, какое трёхмерное пространство занимает конус. Для правильного кругового конуса (основание — круг) объём зависит от площади основания и высоты конуса — перпендикуляра, опущенного от вершины на основание.

Формулы для вычисления объёма конуса

1. Основная формула через площадь основания

Формула:

V = (1/3) * S * h

где
S — площадь основания,
h — высота конуса.

Пример:
Основание — круг площадью S = 20 см², высота h = 9 см.
Тогда:

V = (1/3) * 20 * 9 = 60 см³

2. Формула через радиус основания

Поскольку площадь круга S = πr², формула принимает вид:

V = (1/3) * π * r² * h

Пример:
Радиус r = 4 см, высота h = 12 см.

V = (1/3) * 3.14159 * 4² * 12
V = (1/3) * 3.14159 * 16 * 12
V ≈ 201.06 см³

3. Формула через диаметр основания

Если диаметр d = 2r, то r = d/2.

V = (1/12) * π * d² * h

Пример:
Диаметр d = 10 см, высота h = 6 см.

V = (1/12) * 3.14159 * 10² * 6
V = (1/12) * 3.14159 * 100 * 6
V ≈ 157.08 см³

4. Формула через длину образующей (если нужен радиус)

Иногда известна образующая l и высота h. Тогда радиус:

r = √(l² – h²)

После нахождения r подставляется в формулу объёма:

V = (1/3) * π * r² * h

Пример:
Образующая l = 13 см, высота h = 12 см.
Сначала найдём радиус:

r = √(13² – 12²) = √(169 – 144) = √25 = 5 см

Теперь объём:

V = (1/3) * 3.14159 * 5² * 12
V = (1/3) * 3.14159 * 25 * 12
V ≈ 314.16 см³

5. Формула через объём цилиндра

Конус занимает треть объёма цилиндра с тем же основанием и высотой:

V = (1/3) * V_цилиндра

Поскольку V_цилиндра = πr²h:

V = (1/3) * π * r² * h

Пример:
Объём цилиндра с теми же r = 3 см и h = 9 см равен:

V_цилиндра = 3.14159 * 3² * 9 = 254.47 см³

Тогда:

V = (1/3) * 254.47 ≈ 84.82 см³

Калькулятор объёма конуса