Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть каждый угол равен 90°.
Противоположные стороны прямоугольника параллельны и равны, а соседние стороны могут быть разной длины.
Площадь прямоугольника — это величина, показывающая, сколько места занимает его внутренняя часть на плоскости.
Формулы площади прямоугольника
1. Классическая формула
S = a · b
где
- a — длина,
- b — ширина.
Пример:
a = 8 см, b = 5 см
S = 8 × 5 = 40 см²
2. Через периметр и одну сторону
Периметр прямоугольника: P = 2(a + b)
Отсюда ширина: b = P/2 – a
Тогда площадь:
S = a · (P/2 – a)
Пример:
P = 30 см, a = 8 см
b = 30/2 – 8 = 15 – 8 = 7 см
S = 8 × 7 = 56 см²
3. Через диагональ и угол (геометрия)
Если известна диагональ d и угол между диагональю и стороной a (θ):
S = a · b = a · (d · sin θ)
Пример:
a = 6 см, d = 10 см, угол θ = 60°
b = 10 · sin 60° ≈ 10 · 0.866 = 8.66
S = 6 × 8.66 ≈ 51.96 см²
4. Через диагональ и стороны
Диагональ: d² = a² + b²
Если известны d и a:
b = √(d² – a²)
Площадь: S = a · √(d² – a²)
Пример:
d = 13 см, a = 5 см
b = √(169 – 25) = √144 = 12
S = 5 × 12 = 60 см²
5. Через координаты вершин (аналитическая геометрия)
Если стороны прямоугольника параллельны осям:
S = |x₂ – x₁| · |y₂ – y₁|
Пример:
A(2, 3), C(9, 11) — противоположные вершины
S = |9 – 2| × |11 – 3| = 7 × 8 = 56
6. Через векторное произведение (общий случай)
Стороны прямоугольника → векторы u и v
Площадь:
S = |u| · |v| (так как угол = 90°)
Или через координаты:
S = √[(ux² + uy² + uz²)] · √[(vx² + vy² + vz²)]
Пример:
u = (4, 0), v = (0, 7)
S = √(4²) × √(7²) = 4 × 7 = 28